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求教风险中性定价原理的意思(风险中性定价与股票的几何布朗运动)

一、求教风险中性定价原理的意思

风险中性定价与股票的几何布朗运动

风险中性定理表达了资本市场中的这样的一个结论:即在市场不存在任何套利可能性的条件下,如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券,那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。

这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量,尤其是期望收益率。

风险中性价原理是Cox. Ross(1976)推导期权定价公式时建立的。

由于这种定价原理与投资者的风险制度无关,从而推广到对任何衍生证券都适用,所以在以后的衍生证券的定价推导中,都接受了这样的前提条件,就是所有投资者都是风险中性的,或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格,并且这个价格的决定,又是适用于任何一种风险志度的投资者。

关于这个原理,有着一些不同的解释,从而更清淅了衍生证券定价的分析过程。

首先,在风险中性的经济环境中,投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬,所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率;其次,正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬,市场的贴理率也恰好等于无风险利率,所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值;最后,利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅(Martingle)。

或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法(Martingale Pricing Technique)。

为了更清晰的了解风险中性定价原理和上述解释的意义,这里回到Black-Scholes公式的推导,当然这个推导是Cox. Ross(1976)的工作。

假定基础证券为股票,衍生证券为股票期权,它们的价格分别为S与C,作为两个随机变量,同时遵循下述随机动态方程:
(9)
(10)
这里 与表示期权的期望收益率以及它的方差。

而且C(S.t)是s与t的函数,同样由I+O引理可知:
(11)
比较(10)与(11)式,我们得到:
(12)
(13)
改写(12)式,可知:
(14)
注意这个(14)式,它和Black-Scholes推导的微偏分方程非常相似,但它却包含了两个参数与。

为了求解方程(14),或者设法先解出与,或者设法使==回归到方程(8)的形式。

为此,重新使用一下无风险套期保值的方法,即同样构造一个资产组合π,它如下组成:
s个单位 Call的空头部位
c·c个单位 股票的多头部位
这个资产组合π的价值为:
π=·c·s-·s·c=(-)sc (15)
同样,这个资产组合价值上的微小变动,都是由瞬间的价格变动所引起的,因此:
dπ=(-)·cs·dt (16)
现在在dπ中,所有的随机微分项都消除了,所以π是特征为无风险,在非套利条件下,它必定获取的是无风险收益率,或无风险利率,我们有:
dπ=πdt (17)
-=(-)
(18)
方程(18)具有很清晰的意义,我们把-与-看成是期权以及它的基础证券(股票)的超额收益,在除以各自的方差(即波动性)之后恰好为单位风险的市场价格。

因为在无风险套期保值的资产组合π中,期权及股票都是市场上可交易的证券,所以它们为单位风险的价格应当是相等的。

最后,我们将(18)改写为:
(19)
这样,把(12)与(13)代入(19)式,又回到了我们所熟悉为Black-Scholes的偏微分方程:
(20)
如果我们现在对照(14)与(20),这个推导过程就如同我们在方程(14)直接令==。

寻样,但我们不能这样做,因为==只是风险中性定价原理的结果,或者说是风险中性定价原理的解释。

风险中性定价原理在数学上可以表示为:
(21)
(22)
这里ST与CT都是随机变量,分别表示到期日的股票价格与期权价格,因为到期日Call的收益为CT=max(ST-X、O),所以方程(22)可写为:
(23)
在方程(21)与(23)中,E是同一个期望算符。

这是关于经过风险中性调整的概率分布的期望值,而且这个调不整的概率分布是对数正整的,它的漂移率刚好也是无风险利率。

所以(23)也指出了,Call的价值等于风险中性条件下到期收益的贴现期望值,贴现率也刚好是无风险利率。

这样通过类似于Cox与Ross的推导,完全的给出了风险中性定价原理的解释

二、有关布朗运动和期权定价的问题

风险中性定价与股票的几何布朗运动

布朗运动是将看起来连成一片的液体,在高倍显微镜下看其实是由许许多多分子组成的。

液体分子不停地做无规则的运动,不断地随机撞击悬浮微粒。

当悬浮的微粒足够小的时候,由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。

在某一瞬间,微粒在另一个方向受到的撞击作用超强的时候,致使微粒又向其它方向运动,这样,就引起了微粒的无规则的运动就是布朗运动。

期权定价模型(OPM)—-由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。

该模型认为,只有股价的当前值与未来的预测有关;变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关 。

模型表明,期权价格的决定非常复杂,合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。

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